आकृति में,$ABC$ और $DBC$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित दो त्रिभुज हैं। यदि $AD$,$BC$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि $\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(DBC)} = \frac{AO}{DO}$ है।
(N/A) मान लीजिए कि हम रेखा $BC$ पर दो लंब $AP$ और $DM$ खींचते हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ होता है।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AP}{\frac{1}{2} \times BC \times DM} = \frac{AP}{DM}$.
$\triangle APO$ और $\triangle DMO$ में:
$\angle APO = \angle DMO = 90^{\circ}$ (रचना से)।
$\angle AOP = \angle DOM$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$\triangle APO \sim \triangle DMO$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AP}{DM} = \frac{AO}{DO}$.
इस मान को हमारे क्षेत्रफल के अनुपात के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{AO}{DO}$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ होता है।
अतः,$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AP}{\frac{1}{2} \times BC \times DM} = \frac{AP}{DM}$.
$\triangle APO$ और $\triangle DMO$ में:
$\angle APO = \angle DMO = 90^{\circ}$ (रचना से)।
$\angle AOP = \angle DOM$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$\triangle APO \sim \triangle DMO$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AP}{DM} = \frac{AO}{DO}$.
इस मान को हमारे क्षेत्रफल के अनुपात के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta ABC)}{\operatorname{ar}(\Delta DBC)} = \frac{AO}{DO}$।
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$(i)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$
$(ii)$ $\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$
$(iii)$ $\Delta CMB \sim \Delta RNQ$
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$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)
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