સાબિત કરો કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)$ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)$.
સાબિતી: $\triangle AOB$ માં,ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ (ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે),આપણને મળે છે:
$OA + OB > AB$ ... $(1)$
$\triangle BOC$ માં,આપણને મળે છે:
$OB + OC > BC$ ... $(2)$
$\triangle COD$ માં,આપણને મળે છે:
$OC + OD > CD$ ... $(3)$
$\triangle DOA$ માં,આપણને મળે છે:
$OD + OA > DA$ ... $(4)$
સમીકરણો $(1), (2), (3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > AB + BC + CD + DA$
$2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA$
કારણ કે $OA + OC = AC$ અને $OB + OD = BD$,આપણે આ કિંમતો અસમતામાં મૂકીએ છીએ:
$2(AC) + 2(BD) > AB + BC + CD + DA$
$2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA$
તેથી,$AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$.
આમ,સાબિત થાય છે.