सिद्ध कीजिए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें,तो वह एक वर्ग होता है।

(N/A) माना $ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बराबर हैं $(AC = BD)$ और वे बिंदु $O$ पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ($AO = OC$,$BO = OD$,और $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^{\circ}$)।
$1$. $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,यह सिद्ध करने के लिए:
$\Delta AOD$ और $\Delta AOB$ में:
$AO = AO$ (उभयनिष्ठ)
$OD = OB$ (दिया है)
$\angle AOD = \angle AOB = 90^{\circ}$ (दिया है)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta AOD \cong \Delta AOB$।
अतः,$AD = AB$ $(CPCT)$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $AB = BC$,$BC = CD$,और $CD = DA$।
अतः,$AB = BC = CD = DA$। चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
$2$. $ABCD$ एक वर्ग है,यह सिद्ध करने के लिए:
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AC = BD$ (दिया है)
$BC = AD$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)
$AB = BA$ (उभयनिष्ठ)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$।
अतः,$\angle ABC = \angle BAD$ $(CPCT)$।
चूँकि $AD \parallel BC$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है,क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$।
चूँकि $\angle ABC = \angle BAD$,इसलिए $2 \angle ABC = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\angle ABC = 90^{\circ}$।
वह समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वर्ग कहलाता है। अतः,$ABCD$ एक वर्ग है।