ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \geq 2$ માટે $n^{3}-n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): n^{3}-n$ એ દરેક $n \geq 2$ માટે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=2$ માટે,
$P(2): 2^{3}-2 = 8-2 = 6$,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$P(2)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \geq 2$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $k^{3}-k = 6m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.
પગલું $3$: $P(k+1)$ સત્ય છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે $(k+1)^{3}-(k+1)$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(k+1)^{3}-(k+1) = (k^{3}+3k^{2}+3k+1) - k - 1$
$= (k^{3}-k) + 3k^{2}+3k$
$= (k^{3}-k) + 3k(k+1)$
કારણ કે $k^{3}-k = 6m$ અને $k(k+1)$ એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,તેથી તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,$3k(k+1)$ એ $3 \times 2 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$(k^{3}-k) + 3k(k+1) = 6m + 6n = 6(m+n)$,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ દરેક $n \geq 2$ માટે સત્ય છે.