સાબિત કરો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો તેના વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા બરાબર હોય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
$\Delta AOB, \Delta BOC, \Delta COD,$ અને $\Delta AOD$ માં,
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$AB^2 = AO^2 + OB^2$ $...(1)$
$BC^2 = BO^2 + OC^2$ $...(2)$
$CD^2 = CO^2 + OD^2$ $...(3)$
$AD^2 = AO^2 + OD^2$ $...(4)$
આ તમામ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = 2(AO^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2)$
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AO = OC = AC/2$ અને $BO = OD = BD/2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 2((AC/2)^2 + (BD/2)^2 + (AC/2)^2 + (BD/2)^2)$
$= 2(2(AC/2)^2 + 2(BD/2)^2)$
$= 2(AC^2/2 + BD^2/2)$
$= AC^2 + BD^2$
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો તેના વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા બરાબર છે.