सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की एक भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल,उसके एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

(N/A) माना $ABCD$ भुजा $a$ वाला एक वर्ग है।
अतः,इसका विकर्ण $= \sqrt{2} a$ होगा।
दो समबाहु त्रिभुज बनते हैं: $\Delta ABE$ (भुजा $AB$ पर) और $\Delta DBF$ (विकर्ण $DB$ पर)।
भुजा $AB$ पर बने समबाहु त्रिभुज $\Delta ABE$ की भुजा $= a$ है।
विकर्ण $DB$ पर बने समबाहु त्रिभुज $\Delta DBF$ की भुजा $= \sqrt{2} a$ है।
चूंकि सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\Delta ABE \text{ का क्षेत्रफल}}{\Delta DBF \text{ का क्षेत्रफल}} = \left( \frac{a}{\sqrt{2} a} \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$।
अतः,$\Delta ABE \text{ का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \Delta DBF \text{ का क्षेत्रफल}$।