m, 2m, 3m, dots, nm ग्राम द्रव्यमान वाले कणों | vedclass

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Question

(A) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र का सूत्र $X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ है।यहाँ,द्रव्यमान $m_i = i \cdot m$ हैं और उनकी स्थितियाँ $x_i

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$\frac{(2n + 1)l}{3}$

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(A) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र का सूत्र $X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ है।यहाँ,द्रव्यमान $m_i = i \cdot m$ हैं और उनकी स्थितियाँ $x_i = i \cdot l$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$X_{CM} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \dots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \dots + nm}$$X_{CM} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \dots + n)}$मानक योग सूत्रों $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$X_{CM} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$$X_{CM} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$$X_{CM} = \frac{(2n + 1)l}{3}$

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