गोलीय अपवर्तक सतह के लिए वस्तु दूरी $(u)$,प्रतिबिंब दूरी $(v)$,माध्यमों के अपवर्तनांक ($n_1$ और $n_2$) और वक्रता त्रिज्या $(R)$ के बीच संबंध व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि एक गोलीय सतह $n_1$ और $n_2$ अपवर्तनांक वाले दो माध्यमों को अलग करती है। मुख्य अक्ष पर वस्तु $O$ और प्रतिबिंब $I$ बनते हैं।
छोटे कोणों के लिए:
$\alpha = \angle NOM \approx \frac{MN}{OM} = \frac{MN}{-u}$
$\beta = \angle NCM \approx \frac{MN}{MC} = \frac{MN}{R}$
$\gamma = \angle NIM \approx \frac{MN}{MI} = \frac{MN}{v}$
त्रिभुज की ज्यामिति से:
$\Delta NOC$ में,$i = \alpha + \beta = \frac{MN}{-u} + \frac{MN}{R}$
$\Delta NIC$ में,$\beta = r + \gamma \implies r = \beta - \gamma = \frac{MN}{R} - \frac{MN}{v}$
छोटे कोणों के लिए स्नेल के नियम $n_1 i = n_2 r$ का उपयोग करने पर:
$n_1 \left( \frac{MN}{-u} + \frac{MN}{R} \right) = n_2 \left( \frac{MN}{R} - \frac{MN}{v} \right)$
$MN$ से विभाजित करने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$