मान लीजिए कि सदिश $a, b, c$ और $d$ इस प्रकार हैं कि $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ है। मान लीजिए $P_1$ और $P_2$ क्रमशः सदिशों के युग्मों $(a, b)$ और $(c, d)$ द्वारा निर्धारित समतल हैं। तो $P_1$ और $P_2$ के बीच का कोण क्या है?

यदि $a=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$,$b=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$c=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ और $d=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ है,तो $(a \times b) \times(c \times d)=$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश हैं,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $\sqrt{2}$ है,इस प्रकार कि $(\vec{a}, \vec{b})=(\vec{b}, \vec{c})=(\vec{c}, \vec{a})=\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{x}=\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$ और $\vec{y}=\vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{a})$ है,तो

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं,तो दर्शाइए कि $\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}]$ त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल देता है। अतः,तीन बिंदुओं $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के संरेख होने की शर्त ज्ञात कीजिए। त्रिभुज के तल के लंबवत इकाई सदिश भी ज्ञात कीजिए।

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण $a = 3i + j - 2k$ और $b = i - 3j + 4k$ हैं।

मान लीजिए $\vec{u}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v}=-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ $R^3$ में सदिश हैं और $\vec{w}$ $XY$-समतल में एक इकाई सदिश है। तो,$|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।