मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जो सभी x, y in | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन समीकरण: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$. $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$f(0) = 0 \cdot f(0) + 0 \cdot f(0) - 0 + 1$,जिससे $f(0) =

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$3$

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(D) दिया गया फलन समीकरण: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$. $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$f(0) = 0 \cdot f(0) + 0 \cdot f(0) - 0 + 1$,जिससे $f(0) = 1$ प्राप्त होता है। अब,दिए गए समीकरण का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{\partial}{\partial y} [f(x + 2y)] = \frac{\partial}{\partial y} [2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1]$ $2f'(x + 2y) = 2f(x) + xf'(y) - 3x$. इस समीकरण में $y = 0$ रखने पर: $2f'(x) = 2f(x) + xf'(0) - 3x$. चूंकि $f'(0) = 1$,इसलिए $2f'(x) = 2f(x) + x - 3x$,जो सरल होकर $2f'(x) = 2f(x) - 2x$ या $f'(x) - f(x) = -x$ हो जाता है। यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। इसे हल करने पर $f(x) = x + 1$ प्राप्त होता है। अतः,$f(2) = 2 + 1 = 3$.

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