int_{0}^{infty} log left( x + frac{1}{x} righ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\infty \log \left( x + \frac{1}{x} ight) \frac{dx}{1 + x^2}$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	he

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$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^\infty \log \left( x + \frac{1}{x} ight) \frac{dx}{1 + x^2}$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$.जब $x 	o 0, 	heta 	o 0$ और जब $x 	o \infty, 	heta 	o \pi / 2$.$I = \int_0^{\pi / 2} \log (	an 	heta + \cot 	heta) \frac{\sec^2 	heta}{1 + 	an^2 	heta} \, d	heta = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{\sin^2 	heta + \cos^2 	heta}{\sin 	heta \cos 	heta} ight) d	heta$.$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{1}{\sin 	heta \cos 	heta} ight) d	heta = - \int_0^{\pi / 2} \log (\sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$.$I = - \int_0^{\pi / 2} (\log \sin 	heta + \log \cos 	heta) \, d	heta$.गुणधर्म $\int_0^{\pi / 2} \log \sin 	heta \, d	heta = \int_0^{\pi / 2} \log \cos 	heta \, d	heta = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर.$I = - \left( -\frac{\pi}{2} \log 2 - \frac{\pi}{2} \log 2 ight) = - (-\pi \log 2) = \pi \log 2$.

$\int_{0}^{\infty} \log \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{dx}{1 + x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x} \,dx = $

$a$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए असमिका $\int_{a}^{0} (3^{-2x} - 2 \cdot 3^{-x}) \, dx \geq 0$ सत्य है:

$\int_{-1}^3\left(\cot ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) d x=$

$x > 0$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log t}{1+t} dt$. तो $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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