मान लीजिए f(x) घात 3 का एक बहुपद है,जैसे कि f | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ है।दिया है कि $f'(x)$ का $x = 1$ पर एक क्रांतिक बि

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$3$

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(B) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ है।दिया है कि $f'(x)$ का $x = 1$ पर एक क्रांतिक बिंदु है,इसलिए $f''(1) = 0 \implies 6a(1) + 2b = 0 \implies b = -3a$ है।अब $f'(x) = 3ax^2 - 6ax + c$ है। चूँकि $f(x)$ का $x = -1$ पर एक क्रांतिक बिंदु है,$f'(-1) = 0 \implies 3a(-1)^2 - 6a(-1) + c = 0 \implies 3a + 6a + c = 0 \implies c = -9a$ है।अतः $f(x) = ax^3 - 3ax^2 - 9ax + d$ है।$f(-1) = 10$ का उपयोग करने पर: $a(-1)^3 - 3a(-1)^2 - 9a(-1) + d = 10 \implies 5a + d = 10$ है।$f(1) = -6$ का उपयोग करने पर: $a(1)^3 - 3a(1)^2 - 9a(1) + d = -6 \implies -11a + d = -6$ है।दोनों समीकरणों को घटाने पर: $16a = 16 \implies a = 1$ है।अतः $b = -3, c = -9$,और $d = 5$ है। इस प्रकार $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ है।$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$ है।क्रांतिक बिंदु $x = -1$ और $x = 3$ हैं।$f''(x) = 6x - 6$ है। $x = 3$ पर $f''(3) = 12 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।इसलिए,$f(x)$ का स्थानीय न्यूनतम $x = 3$ पर है।

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