मान लीजिए $a = i - k$, $b = xi + j + (1 - x)k$, और $c = yi + xj + (1 + x - y)k$ है। तो $[a\,b\,c]$ किस पर निर्भर करता है?

बिंदु $A(4, 5, 1)$,$B(0, -1, -1)$,$C(3, 9, 4)$ और $D(-4, 4, 4)$ हैं:

यदि एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसकी भुजाएँ $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ हैं,का आयतन $24$ घन इकाई है,तो उस समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा जिसकी भुजाएँ $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ हैं?

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ कोई भी तीन शून्येतर असमतलीय सदिश हैं और सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ हैं,तो $[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = ...$

यदि $d = \lambda (a \times b) + \mu (b \times c) + \nu (c \times a)$ और $[a, b, c] = \frac{1}{8}$ है,तो $\lambda + \mu + \nu$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चतुष्फलक जिसके सह-अंतिम किनारे $\bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$,$2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ और $3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ हैं,का आयतन $2$ है,तो $p$ के मान किस समीकरण के मूल हैं?