मान लीजिए f(x) = begin{cases} 3 - x, & 0 le x | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,फलन को $f(1) \le f(1 - h)$ और $f(1) \le f(1 + h)$ शर्तों को पूरा करना चाहिए,जहाँ $h > 0$ एक ब

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$(0, e]$

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(B) $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,फलन को $f(1) \le f(1 - h)$ और $f(1) \le f(1 + h)$ शर्तों को पूरा करना चाहिए,जहाँ $h > 0$ एक बहुत छोटा मान है।सबसे पहले,$x = 1$ पर बाएँ पक्ष की सीमा (left-hand limit) ज्ञात करते हैं:$f(1^-) = \lim_{x 	o 1^-} (3 - x) = 3 - 1 = 2$.अब,$x = 1$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:$f(1) = 1^2 + \log_e b = 1 + \log_e b$.$x > 1$ के लिए,$f(x) = x^2 + \log_e b$ है। चूँकि $f'(x) = 2x > 0$ है,इसलिए $x > 1$ के लिए फलन वर्धमान है। अतः,$x = 1$ के पड़ोस में $x > 1$ के लिए $f(x) \ge f(1)$ होगा।$x  f(1^-) = 2$ होगा।$x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान के लिए,हमें $f(1) \le f(1^-)$ की आवश्यकता है:$1 + \log_e b \le 2$$\log_e b \le 1$$b \le e^1 = e$.चूँकि लघुगणक $\log_e b$ केवल $b > 0$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $b$ के मानों का समुच्चय $(0, e]$ है।

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