मान लीजिए f:(a, b) rightarrow R एक दो बार अवक | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,

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$(a, b)$ में सात मूल

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $5 - 1 = 4$ भिन्न मूल होने चाहिए।अतः,$g(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं।अब,$g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं,इसलिए $g'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4 - 1 = 3$ भिन्न मूल होने चाहिए।समीकरण $g(x) g'(x) = 0$ तब संतुष्ट होता है जब $g(x) = 0$ या $g'(x) = 0$ हो।चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ मूल हैं और $g'(x) = 0$ के कम से कम $3$ मूल हैं,इसलिए $g(x) g'(x) = 0$ के लिए $(a, b)$ में कुल भिन्न मूलों की संख्या कम से कम $4 + 3 = 7$ है।

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यदि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है,$f^{\prime}(x) \geq 5$ सभी $x \in [2, 6]$ के लिए,$f(2) = 4$ और $f(3) = 15$ है,तो $f(6)$ का एक संभावित मान है:

मान लीजिए $f(x)$,$[0, 2]$ में एक अवकलनीय फलन है,$f(0) = 0$ और $f'(x) \le \frac{1}{2}$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए। तो:

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$। यदि $a = 0$,$b = \frac{1}{2}$ और $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है। यदि $f(1) = -2$ और $x \in [1, 6]$ के लिए $f'(x) \geq 2$ है,तो:

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