आकृति में,AOBA प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + y^{2} = 36$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ या $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}}

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$3\pi - 6$

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(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + y^{2} = 36$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ या $\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।समीकरण से,$y = \sqrt{36 - 9x^{2}} = 3\sqrt{4 - x^{2}}$.बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(0, 6)$ से गुजरने वाली जीवा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $y = 6 - 3x$ प्राप्त होता है।छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 2$ तक दीर्घवृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से रेखा $AB$ के नीचे के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है।क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (y_{	ext{ellipse}} - y_{	ext{line}}) dx = \int_{0}^{2} (3\sqrt{4 - x^{2}} - (6 - 3x)) dx$.$= 3 \int_{0}^{2} \sqrt{2^{2} - x^{2}} dx - \int_{0}^{2} (6 - 3x) dx$.सूत्र $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए:$= 3 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^{2}} + \frac{4}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{2}) ight]_{0}^{2} - \left[ 6x - \frac{3x^{2}}{2} ight]_{0}^{2}$.$= 3 \left[ (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) ight] - \left[ (12 - 6) - (0 - 0) ight]$.$= 3 \left[ 2 	imes \frac{\pi}{2} ight] - 6 = 3\pi - 6$ वर्ग इकाई।

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