કાટકોણ ત્રિકોણમાં,સાબિત કરો કે કર્ણના મધ્યબિંદુને સામેના શિરોબિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ કર્ણની લંબાઈ કરતાં અડધો હોય છે.

(N/A) $ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે અને $D$ એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $BD = \frac{1}{2} AC$.
રચના: $BD$ ને $E$ સુધી એવી રીતે લંબાવો કે જેથી $BD = DE$ થાય. $EC$ ને જોડો.
$\Delta ADB$ અને $\Delta CDE$ માં:
$AD = CD$ ($D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી)
$\angle ADB = \angle CDE$ (અભિકોણો)
$BD = DE$ (રચના મુજબ)
તેથી,$\Delta ADB \cong \Delta CDE$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આથી,$AB = EC$ $(CPCT)$ અને $\angle 1 = \angle 2$ $(CPCT)$.
$\angle 1$ અને $\angle 2$ યુગ્મકોણો હોવાથી,$EC \parallel BA$ થાય.
હવે,$EC \parallel BA$ અને $BC$ છેદિકા છે,તેથી $\angle ABC + \angle BCE = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle BCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\Delta ABC$ અને $\Delta ECB$ માં:
$BC = CB$ (સામાન્ય બાજુ)
$AB = EC$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$\angle ABC = \angle ECB = 90^{\circ}$
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta ECB$ ($SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આથી,$AC = EB$ $(CPCT)$.
$BD = DE$ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BE$ થાય.
$BE = AC$ મૂકતા,આપણને $BD = \frac{1}{2} AC$ મળે છે.