જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x-2y+z=-4$; $2x+\alpha y+3z=5$; $3x-y+\beta z=3$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $12\alpha+13\beta$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન $1$: જો સમીકરણોની સંહતિ $x + ky + 3z = 0, 3x + ky - 2z = 0, 2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $k$ નું મૂલ્ય $\frac{31}{2}$ છે.
વિધાન $2$: ત્રણ ચલ ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX=B$ ને ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતી વખતે,જો $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|$,$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}5 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 11 & 1 & 5\end{array}\right|$ અને $X=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ 2 \\ \beta\end{array}\right]$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2=$

જો $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ એ સમીકરણ સંહતિ:
$\begin{aligned} 2x-y+8z &= 13 \\ 3x+4y+5z &= 18 \\ 5x-2y+7z &= 20 \end{aligned}$
નો ઉકેલ હોય,તો $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=$ શોધો.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $2x - y = -2$ અને $3x + 4y = 3$.

જો $p$ અને $q$ એ $\lambda$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો હોય,જેના માટે સમીકરણ સંહતિ $\begin{aligned} (\lambda-1) x+(3 \lambda+1) y+2 \lambda z &=0 \\ (\lambda-1) x+(4 \lambda-2) y+(\lambda+3) z &=0 \\ 2 x+(3 \lambda+1) y+3(\lambda-1) z &=0 \end{aligned}$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $p^2+q^2-p q=$