જો શ્રેણી frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ નીચે મુજબ છે:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i

Vedclass · Accepted Answer

$120$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ નીચે મુજબ છે:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:$a_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને $a_n$ ને સરળ બનાવતા:$a_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$હવે,$20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:$S_{20} = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) \right]$$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$આપેલ છે કે $S_{20} = \frac{k}{21}$,સરખામણી કરતા,આપણને $k = 120$ મળે છે.

જો શ્રેણી $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ ના $20$ પદોનો સરવાળો $\frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો સરવાળો તેમના વર્ગોના વ્યસ્તના સરવાળા જેટલો હોય,તો $bc^2, ca^2, ab^2$ શેમાં હશે?

શ્રેણી $5.05 + 1.212 + 0.29088 + ... \infty$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots$ શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો એક $G.P.$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) નું પ્રથમ પદ $5$ હોય અને સામાન્ય ગુણોત્તર $-5$ હોય,તો કયું પદ $3125$ થાય ($^{th}$ માં)?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module