यदि फलन g(x) = begin{cases} ae^x, & x le 0 b | vedclass

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Question

(B) फलन $g(x)$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर संतत होना चाहिए।$x = 0$ पर सांतत्य के लिए $\lim_{x 	o 0^-} g(x) = \lim_{x 	o 0^+} g(

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(B) फलन $g(x)$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 0$ पर संतत होना चाहिए।$x = 0$ पर सांतत्य के लिए $\lim_{x 	o 0^-} g(x) = \lim_{x 	o 0^+} g(x) = g(0)$ होना चाहिए।$\lim_{x 	o 0^-} ae^x = ae^0 = a$.$\lim_{x 	o 0^+} (b\cos x + x) = b\cos(0) + 0 = b$.अतः,$a = b$  .......$(1)$अवकलनीयता के लिए,$x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।$LHD = \frac{d}{dx}(ae^x) = ae^x$. $x = 0$ पर,$LHD = a$.$RHD = \frac{d}{dx}(b\cos x + x) = -b\sin x + 1$. $x = 0$ पर,$RHD = -b\sin(0) + 1 = 1$.$LHD = RHD$ रखने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।चूंकि $a = b$,इसलिए $b = 1$ होगा।अतः,$a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

यदि फलन $g(x) = \begin{cases} ae^x, & x \le 0 \\ b\cos x + x, & x > 0 \end{cases}$ अवकलनीय है,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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