જો પ્રથમ બોહર કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ હોય,તો પ્રથમ અને બીજી બોહર કક્ષામાં રહેલા ઈલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું લઘુત્તમ ત્રિજ્યાવર્તી અંતર કેટલું હશે?

કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઇઝેશનને બદલે,એક વિદ્યાર્થી આગાહી કરે છે કે ઉર્જા $E = \frac{-E_{0}}{n}$ તરીકે ક્વોન્ટાઇઝ્ડ છે,$(E_{0} > 0)$ અને $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

બોહરના પરમાણુ મોડેલની મર્યાદાઓ સમજાવો.

એક કાલ્પનિક તંત્રમાં,$m$ દળ અને $-3q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ,$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ખૂબ જ ભારે કણની આસપાસ ગતિ કરે છે. આ તંત્ર માટે બોહરનું મોડેલ સાચું છે તેમ ધારીએ,તો જ્યારે $m$ દળનો કણ ભારે કણની સૌથી નજીક હોય ત્યારે તેનો કક્ષીય વેગ કેટલો હશે?

શાસ્ત્રીય રીતે,ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુના ન્યુક્લિયસની આસપાસ કોઈપણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પરમાણુનું લાક્ષણિક કદ શું નક્કી કરે છે? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક કદ કરતા હજાર ગણો મોટો કેમ નથી? આ પ્રશ્ને બોહરને તેમના પ્રખ્યાત પરમાણુ મોડેલ પર પહોંચતા પહેલા ખૂબ જ મૂંઝવણમાં મૂક્યા હતા જે તમે પાઠ્યપુસ્તકમાં શીખ્યા છો. તેમની શોધ પહેલાં તેમણે શું કર્યું હશે તેનું અનુકરણ કરવા માટે,ચાલો પ્રકૃતિના મૂળભૂત અચળાંકો સાથે નીચે મુજબ રમીએ અને જોઈએ કે શું આપણને લંબાઈના પરિમાણવાળી એવી રાશિ મળે છે જે પરમાણુના જાણીતા કદ $\left(\sim 10^{-10} \;m \right)$ ની લગભગ સમાન હોય.
$(a)$ મૂળભૂત અચળાંકો $e, m_{e},$ અને $c$ નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈના પરિમાણવાળી એક રાશિ બનાવો. તેનું આંકડાકીય મૂલ્ય નક્કી કરો.
$(b)$ તમે જોશો કે $(a)$ માં મેળવેલ લંબાઈ પરમાણુના પરિમાણો કરતા ઘણી ઓછી છે. વધુમાં,તેમાં $c$ નો સમાવેશ થાય છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઉર્જા મોટે ભાગે બિન-સાપેક્ષવાદી ક્ષેત્રમાં હોય છે જ્યાં $c$ કોઈ ભૂમિકા ભજવે તેવી અપેક્ષા નથી. આનાથી બોહરને $c$ ને છોડી દેવાનું અને યોગ્ય પરમાણુ કદ મેળવવા માટે 'બીજું કંઈક' શોધવાનું સૂચન મળ્યું હશે. હવે,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ અન્યત્ર દેખાઈ ચૂક્યો હતો. બોહરની મહાન સમજ એ ઓળખવામાં હતી કે $h, m_{e},$ અને $e$ યોગ્ય પરમાણુ કદ આપશે. $h, m_{e},$ અને $e$ માંથી લંબાઈના પરિમાણવાળી એક રાશિ બનાવો અને ખાતરી કરો કે તેનું આંકડાકીય મૂલ્ય ખરેખર યોગ્ય ક્રમનું છે.

હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,જો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોન પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે,તો ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda$ છે. તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો. ($R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.)