यदि f : R to R एक सतत फलन है,जैसे कि f(x) = i | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = \int\limits_1^x {tf(t)dt}$ है।कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = xf

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$\int\limits_{ - 3}^3 {f(x)dx = 0}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = \int\limits_1^x {tf(t)dt}$ है।कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = xf(x)$ प्राप्त होता है।साथ ही,$x = 1$ रखने पर,$f(1) = \int\limits_1^1 {tf(t)dt} = 0$ प्राप्त होता है।अब,$\frac{f'(x)}{f(x)} = x$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $f(x) = A e^{x^2/2}$।प्रतिबंध $f(1) = 0$ का उपयोग करने पर,$A e^{1/2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A = 0$।अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 0$ है।चूंकि $f(x) = 0$,इसलिए समाकलन $\int\limits_{-3}^3 f(x) dx = \int\limits_{-3}^3 0 dx = 0$ होगा।अतः,सही कथन $\int\limits_{-3}^3 f(x) dx = 0$ है।

यदि $f : R \to R$ एक सतत फलन है,जैसे कि $f(x) = \int\limits_1^x {tf(t)dt}$,तो सही कथन है -

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$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित निश्चित समाकलों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \cos^{-4} x \, dx =$

मान लीजिए $\phi (x) = \int_{0}^{1} e^{x} e^{t} \phi (t) dt + x$. यदि $\phi (\ln (e^{2} - 3))$ का मान $A$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{ - \pi /4}^{\pi /2} {{e^{ - x}}\sin x\,dx} = $

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