यदि int_2^e {left[ {frac{1}{{log x}} - frac{1 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx$. प्रथम पद $\int \frac{1}{\log x} dx$ के लिए खंडशः समाक

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$\alpha = e, \beta = -2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx$. प्रथम पद $\int \frac{1}{\log x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: माना $u = \frac{1}{\log x}$ और $dv = dx$. तब $du = -\frac{1}{x(\log x)^2} dx$ और $v = x$. अतः,$\int \frac{1}{\log x} dx = \frac{x}{\log x} - \int x \left( -\frac{1}{x(\log x)^2} \right) dx = \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$. इस मान को समाकलन $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \left[ \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx \right]_2^e - \int_2^e \frac{1}{(\log x)^2} dx$. $I = \left[ \frac{x}{\log x} \right]_2^e = \frac{e}{\log e} - \frac{2}{\log 2} = e - \frac{2}{\log 2}$. इसकी तुलना $\alpha + \frac{\beta}{\log 2}$ से करने पर,हमें $\alpha = e$ और $\beta = -2$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx = \alpha + \frac{\beta }{{\log 2}},$ है,तो

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$\int_0^a \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = $

मान लीजिए कि $\lim _{c \rightarrow 0} \int_c^x \frac{b t \cos 4 t - a \sin 4 t}{t^2} d t = \frac{a \sin 4 x}{x} - 1$. $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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