यदि int {frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2 | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} + 4)}}dx}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,माना $t = x^2$ है। तब $\frac{2t+3}{(t-1)(t+4)

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$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} + 4)}}dx}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,माना $t = x^2$ है। तब $\frac{2t+3}{(t-1)(t+4)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+4}$ होगा।$2t+3 = A(t+4) + B(t-1)$.$t=1$ के लिए,$5 = 5A \Rightarrow A=1$.$t=-4$ के लिए,$-5 = -5B \Rightarrow B=1$.अतः,$\frac{2{x^2} + 3}{{({x^2} - 1)({x^2} + 4)}} = \frac{1}{{({x^2} - 1)}} + \frac{1}{{({x^2} + 4)}}$.$I = \int {\frac{{dx}}{{({x^2} - 1)}} + \int {\frac{{dx}}{{{x^2} + 2^2}}} }$.मानक समाकलनों $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \log|\frac{x-a}{x+a}|$ और $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} ight| + \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{x}{2}) + c$.$a \log \left( \frac{x-1}{x+1} ight) + b 	an^{-1}(\frac{x}{2}) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} + 4)}}dx = a\log \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + b\tan ^{ - 1}\frac{x}{2} + c}$ है,तो $a$ और $b$ के मान हैं:

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$x > 1$ के लिए,समाकलन $\int \frac{1}{x(x^4 - 1)} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\cos x}{(1 + \sin x)(2 + \sin x)} \,dx = $

यदि $\int \frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} dx = \log \left[\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^a \cdot \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^b\right] + c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{d x}{(\sin x+\cos x)(2 \cos x+\sin x)} = $

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