यदि {x_1}, {x_2}, {x_3}, dots, {x_n} एक A.P. | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, \dots, {x_n}$ एक $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $\alpha$ है,इसलिए ${x_{k+1}} - {x_k} = \alpha$ है।हम व्यंजक को इस प्रक

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$\frac{\sin (n-1)\alpha}{\cos {x_1} \cos {x_n}}$

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(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, \dots, {x_n}$ एक $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $\alpha$ है,इसलिए ${x_{k+1}} - {x_k} = \alpha$ है।हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$S = \sum_{k=1}^{n-1} \sin \alpha \sec {x_k} \sec {x_{k+1}}$चूंकि $\sin \alpha = \sin ({x_{k+1}} - {x_k})$,हमारे पास है:$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sin ({x_{k+1}} - {x_k})}{\cos {x_k} \cos {x_{k+1}}}$सूत्र $	an A - 	an B = \frac{\sin (A-B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:$S = \sum_{k=1}^{n-1} (	an {x_{k+1}} - 	an {x_k})$यह एक टेलीस्कोपिंग योग है:$S = (	an {x_2} - 	an {x_1}) + (	an {x_3} - 	an {x_2}) + \dots + (	an {x_n} - 	an {x_{n-1}})$$S = 	an {x_n} - 	an {x_1} = \frac{\sin ({x_n} - {x_1})}{\cos {x_n} \cos {x_1}}$चूंकि ${x_n} = {x_1} + (n-1)\alpha$,इसलिए ${x_n} - {x_1} = (n-1)\alpha$ है।अतः,$S = \frac{\sin (n-1)\alpha}{\cos {x_1} \cos {x_n}}$।

यदि ${x_1}, {x_2}, {x_3}, \dots, {x_n}$ एक $A.P.$ में हैं जिनका सार्व अंतर $\alpha$ है,तो $\sin \alpha (\sec {x_1} \sec {x_2} + \sec {x_2} \sec {x_3} + \dots + \sec {x_{n-1}} \sec {x_n}) = $ का मान क्या होगा?

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यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं,तो श्रेणी $\sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ का योग क्या है?

$\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots$ $24$ पदों तक $=$

श्रेणी $\frac{3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{2 \cdot 3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = \dots$

कथन-$1$: श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\dots+(361+380+400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

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