यदि int frac{5tan x}{tan x - 2} dx = x + a ln | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{5	an x}{	an x - 2} dx$ है।सबसे पहले,$	an x$ को $\frac{\sin x}{\cos x}$ के रूप में लिखें:$I = \int \frac{5(\sin

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$2$

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(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{5	an x}{	an x - 2} dx$ है।सबसे पहले,$	an x$ को $\frac{\sin x}{\cos x}$ के रूप में लिखें:$I = \int \frac{5(\sin x / \cos x)}{(\sin x / \cos x) - 2} dx = \int \frac{5\sin x}{\sin x - 2\cos x} dx$.अंश को हर $(\sin x - 2\cos x)$ और उसके अवकलज $(\cos x + 2\sin x)$ के रूप में व्यक्त करें:माना $5\sin x = A(\sin x - 2\cos x) + B(\cos x + 2\sin x)$.$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:$A + 2B = 5$$-2A + B = 0 \implies B = 2A$.$B = 2A$ को पहले समीकरण में रखने पर: $A + 2(2A) = 5 \implies 5A = 5 \implies A = 1$.अतः $B = 2(1) = 2$.इस प्रकार,$5\sin x = 1(\sin x - 2\cos x) + 2(\cos x + 2\sin x)$.समाकलन में मान रखने पर:$I = \int \frac{(\sin x - 2\cos x) + 2(\cos x + 2\sin x)}{\sin x - 2\cos x} dx$$I = \int 1 dx + 2 \int \frac{\cos x + 2\sin x}{\sin x - 2\cos x} dx$.माना $t = \sin x - 2\cos x$,तो $dt = (\cos x + 2\sin x) dx$.$I = x + 2 \int \frac{1}{t} dt = x + 2 \ln |t| + k = x + 2 \ln |\sin x - 2\cos x| + k$.दिए गए रूप $x + a \ln |\sin x - 2\cos x| + k$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{5\tan x}{\tan x - 2} dx = x + a \ln |\sin x - 2\cos x| + k$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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