int frac{x , dx}{(x^2 - a^2)(x^2 - b^2)} = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x \, dx}{(x^2 - a^2)(x^2 - b^2)}$ है।$x^2 = t$ रखने पर,$2x \, dx = dt$,या $x \, dx = \frac{dt}{2}$ प्राप्त होता है।इस मान को

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$\frac{1}{2(a^2 - b^2)} \log \left( \frac{x^2 - a^2}{x^2 - b^2} \right) + c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x \, dx}{(x^2 - a^2)(x^2 - b^2)}$ है।$x^2 = t$ रखने पर,$2x \, dx = dt$,या $x \, dx = \frac{dt}{2}$ प्राप्त होता है।इस मान को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{dt}{2(t - a^2)(t - b^2)} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{(t - a^2)(t - b^2)}$।आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:$\frac{1}{(t - a^2)(t - b^2)} = \frac{1}{a^2 - b^2} \left( \frac{1}{t - a^2} - \frac{1}{t - b^2} \right)$।अतः,$I = \frac{1}{2(a^2 - b^2)} \int \left( \frac{1}{t - a^2} - \frac{1}{t - b^2} \right) dt$।$I = \frac{1}{2(a^2 - b^2)} [\log |t - a^2| - \log |t - b^2|] + c$।$I = \frac{1}{2(a^2 - b^2)} \log \left| \frac{t - a^2}{t - b^2} \right| + c$।$t = x^2$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{2(a^2 - b^2)} \log \left| \frac{x^2 - a^2}{x^2 - b^2} \right| + c$।

$\int \frac{x \, dx}{(x^2 - a^2)(x^2 - b^2)} = $

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$\int {\frac{{{x^4}}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}}dx} = $

परिमेय फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{3x-1}{(x+2)^{2}}$

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