यदि f(x) = int frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 2x^7 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 2x^7 + 1)^2} dx$। अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8

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$\frac{1}{4}$

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(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 2x^7 + 1)^2} dx$। अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + 2 + x^{-7})^2} dx$। माना $u = x^{-5} + x^{-7} + 2$। तब $du = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,जिसका अर्थ है $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = du$। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = -\int \frac{1}{u^2} du = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C$। चूंकि $f(0) = 0$,हम $x 	o 0^+$ के लिए सीमा का मूल्यांकन करते हैं। जैसे ही $x 	o 0^+$,$x^{-5} + x^{-7} 	o \infty$,इसलिए $\frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} 	o 0$। अतः,$0 = 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है। इसलिए,$f(x) = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} = \frac{x^7}{1 + x^2 + 2x^7}$। $x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर: $f(1) = \frac{1^7}{1 + 1^2 + 2(1)^7} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$।

यदि $f(x) = \int \frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 2x^7 + 1)^2} dx$ $(x \geq 0)$ और $f(0) = 0$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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