જો $\alpha \in R - \{-1\}$ અને $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$ હોય,તો $f(x)$ જે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા શોધો.

જો $x + |y| = 2y$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $x$ ના વિધેય તરીકે $y$ એ

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x-x^2+(x-1) \sin x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે અને $g: R \rightarrow R$ એ કોઈ પણ વિધેય છે. ધારો કે $f g: R \rightarrow R$ એ ગુણાકાર વિધેય છે જે $(f g)(x)=f(x) g(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ જો $g$ એ $x=1$ આગળ સતત હોય,તો $f g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(B)$ જો $fg$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $g$ એ $x=1$ આગળ સતત છે
$(C)$ જો $g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $f g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(D)$ જો $fg$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે

ધારો કે $S$ એ $(-\pi, \pi)$ માં તે તમામ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં વિધેય $f(x) = \min\{\sin x, \cos x\}$ વિકલનીય નથી. તો $S$ એ નીચેનામાંથી કોનો ઉપગણ છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x^{5} \sin \left(\frac{1}{x}\right) + 5x^{2} & , x < 0 \\ 0 & , x = 0 \\ x^{5} \cos \left(\frac{1}{x}\right) + \lambda x^{2} & , x > 0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. $\lambda$ ની કઈ કિંમત માટે $f''(0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{જો } x=1 \\ e^{(x^{10}-1)} + (x-1)^2 \sin \frac{1}{x-1}, & \text{જો } x \neq 1 \end{cases}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. તો: