જો $\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6\end{array}\right]$ એ એક સિંગ્યુલર શ્રેણિક (singular matrix) હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{\cot 54^\circ}{\tan 36^\circ} + \frac{\tan 20^\circ}{\cot 70^\circ}$ નું મૂલ્ય શું છે?

List-$I$ માં $Pb$ (સીસું) ના ધાતુશાસ્ત્રમાં સામેલ પ્રતિક્રિયાઓ દર્શાવેલ છે અને List-$II$ માં પ્રક્રિયાઓના નામ દર્શાવેલ છે. List-$I$ ને List-$II$ સાથે જોડો અને તમારા જવાબ માટે સાચો કોડ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$(P). PbS + 2PbO \xrightarrow{\Delta} 3Pb + SO_2 \uparrow$	$(1).$ સ્મેલ્ટિંગ (Smelting)
$(Q). PbS + \frac{3}{2}O_2 \xrightarrow{\Delta} PbO + SO_2 \uparrow$	$(2).$ સ્વ-રિડક્શન (Self reduction)
$(R). PbCO_3 \xrightarrow{\Delta} PbO + CO_2 \uparrow$	$(3).$ કેલ્સિનેશન (Calcination)
$(S). PbO + C \xrightarrow{\Delta} Pb + CO \uparrow$	$(4).$ રોસ્ટિંગ (Roasting)

જો $y=\sin (\log _e x)$ હોય,તો $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \int \frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 1 + 2x^7)^2} dx, (x \ge 0)$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

વક્ર $9y^{2} = x^{3}$ પરના બિંદુઓ શોધો જ્યાં વક્રનો અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે.