જો a

Question

(A) ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$ જ્યાં $x \in [-1, 1]$.આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$. ધારો કે $u

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$ જ્યાં $x \in [-1, 1]$.આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$. ધારો કે $u = \sin^{-1} x$,જ્યાં $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.તેથી $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$.આ $u$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેનું શિરોબિંદુ $u = -\frac{b}{2a} = \frac{3\pi^2/4}{3\pi} = \frac{\pi}{4}$ પર છે.$u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $u = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે:$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{3\pi^2}{4}(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi^3}{32} - \frac{3\pi^3}{16} + \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi^3}{32}$.મહત્તમ કિંમત સીમા $u = -\frac{\pi}{2}$ પર મળે છે:$f(-\frac{\pi}{2}) = (-\frac{\pi}{2})^3 + (\pi)^3 = -\frac{\pi^3}{8} + \pi^3 = \frac{7\pi^3}{8}$.આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8}]$ છે.આપેલ છે કે $a અભિવ્યક્તિની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{\pi^3}{32}$ હોવાથી,જ્યારે $a તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

જો $a < \frac{1}{32}$ હોય,તો $(\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3 = a\pi^3$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી થાય?

Similar Questions

$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

સાબિત કરો કે $3 \cos ^{-1} x = \cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$,જ્યાં $x \in [\frac{1}{2}, 1]$.

જો $3 \cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \pi$ હોય,તો $x = $ . . . . . . .

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module