यदि y = 2x^2 - 1 है,तो left[ frac{1}{y} + fra | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि लघुगणकीय श्रेणी का विस्तार: $\frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+z}{1-z} \right) = z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \dots$ जहाँ $|z|

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$\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3x^6} + \dots \right]$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि लघुगणकीय श्रेणी का विस्तार: $\frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+z}{1-z} \right) = z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \dots$ जहाँ $|z| मान लीजिए $z = \frac{1}{y}$। तो दिया गया व्यंजक $\frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + 1/y}{1 - 1/y} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{y+1}{y-1} \right)$ है।$y = 2x^2 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{1}{2} \ln \left( \frac{2x^2 - 1 + 1}{2x^2 - 1 - 1} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{2x^2}{2x^2 - 2} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2}{x^2 - 1} \right) = -\frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2 - 1}{x^2} \right) = -\frac{1}{2} \ln \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right)$।विस्तार $\ln(1-u) = -(u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \dots)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \frac{1}{x^2}$:$-\frac{1}{2} [ -(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3x^6} + \dots) ] = \frac{1}{2} [ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3x^6} + \dots ]$।

यदि $y = 2x^2 - 1$ है,तो $\left[ \frac{1}{y} + \frac{1}{3y^3} + \frac{1}{5y^5} + \dots \right]$ का मान क्या होगा?

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