જો S = frac{1}{1 times 2} - frac{1}{2 times 3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \frac{1}{1 	imes 2} - \frac{1}{2 	imes 3} + \frac{1}{3 	imes 4} - \frac{1}{4 	imes 5} + \dots + \infty$ છે. આંશિક અપૂર્ણાંકનો

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{e}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \frac{1}{1 	imes 2} - \frac{1}{2 	imes 3} + \frac{1}{3 	imes 4} - \frac{1}{4 	imes 5} + \dots + \infty$ છે. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. તેથી,$S = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots$. $S = 1 - 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{5}) - \dots$. $S = 1 - 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$. $x=1$ માટે,$\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_e 2$. આ કિંમત $S$ માં મૂકતા: $S = 1 - 2(1 - \log_e 2) = 1 - 2 + 2 \log_e 2 = 2 \log_e 2 - 1 = \log_e 4 - \log_e e = \log_e(\frac{4}{e})$. તેથી,$e^S = e^{\log_e(4/e)} = \frac{4}{e}$.

જો $S = \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} + \dots + \infty$ હોય,તો $e^S = $

Similar Questions

$\log_e \left( 1 + ax^2 + a^2 + \frac{a}{x^2} \right)$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\frac{m - n}{m + n} + \frac{1}{3}\left( \frac{m - n}{m + n} \right)^3 + \frac{1}{5}\left( \frac{m - n}{m + n} \right)^5 + \dots \infty = $

જો $|a| < 1$ અને $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શું થાય?

$\log_e [(1 + x)^{1 + x} (1 - x)^{1 - x}] = $

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{27} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{81} + \dots \infty = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module