જો alpha=int_{frac{1}{2}}^2 frac{tan ^{-1} x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $\alpha=\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{	an ^{-1} x}{2 x^2-3 x+2} d x \quad ...(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ

Vedclass · Accepted Answer

$21$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $\alpha=\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{	an ^{-1} x}{2 x^2-3 x+2} d x \quad ...(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અથવા $x = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.જ્યારે $x = \frac{1}{2}, t = 2$ અને જ્યારે $x = 2, t = \frac{1}{2}$.$\alpha = \int_2^{\frac{1}{2}} \frac{	an ^{-1}(1/t)}{2/t^2 - 3/t + 2} \left(-\frac{1}{t^2}ight) dt = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\cot ^{-1} x}{2x^2 - 3x + 2} dx \quad ...(ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2\alpha = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{	an ^{-1} x + \cot ^{-1} x}{2x^2 - 3x + 2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\pi/2}{2x^2 - 3x + 2} dx$$2\alpha = \frac{\pi}{4} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{dx}{x^2 - \frac{3}{2}x + 1} = \frac{\pi}{4} \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{dx}{(x - 3/4)^2 + 7/16}$$2\alpha = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} \left[ 	an^{-1} \left( \frac{x - 3/4}{\sqrt{7}/4} ight) ight]_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{\pi}{\sqrt{7}} \left[ 	an^{-1} \left( \frac{4x - 3}{\sqrt{7}} ight) ight]_{\frac{1}{2}}^2$$2\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{7}} \left[ 	an^{-1} \left( \frac{5}{\sqrt{7}} ight) - 	an^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{7}} ight) ight] = \frac{\pi}{\sqrt{7}} 	an^{-1} \left( \frac{5/\sqrt{7} + 1/\sqrt{7}}{1 - (5/\sqrt{7})(-1/\sqrt{7})} ight)$$2\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{7}} 	an^{-1} (3\sqrt{7})$આમ,$\sqrt{7} 	an \left( \frac{2\alpha\sqrt{7}}{\pi} ight) = \sqrt{7} 	an \left( 	an^{-1}(3\sqrt{7}) ight) = \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} = 21$.

Similar Questions

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

જો $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ હોય,તો $\int_{-\infty}^{\infty} f\left(x - \frac{1}{x}\right) dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $f : R \to R$ એક વિધેય છે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(2 - x) = f(2 + x)$ અને $f(4 - x) = f(4 + x)$ છે. જો $\int_{0}^{2} f(x) dx = 5$ હોય,તો $\int_{10}^{50} f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $P = \int_0^{3\pi} f(\cos^2 x) dx$ અને $Q = \int_0^{\pi} f(\cos^2 x) dx$ હોય,તો:

સંકલન $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module