यदि 0

Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ है।$\cos x$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} - y 	an x = 6x \sec x$ प्राप्त होता है।

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$-\frac{\pi^2}{2\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ है।$\cos x$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} - y 	an x = 6x \sec x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -	an x$ और $Q = 6x \sec x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{-\int 	an x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \frac{1}{\sec x} = \cos x$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।$y \cos x = \int (6x \sec x) \cdot \cos x dx = \int 6x dx = 3x^2 + C$ है।चूंकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C$,जिससे $0 = \frac{\pi^2}{3} + C$,अर्थात $C = -\frac{\pi^2}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ है।$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।$y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = -\frac{3\pi^2}{12} = -\frac{\pi^2}{4}$ है।$y = -\frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi^2}{2\sqrt{3}}$।

यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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