यदि f(x) = frac{2 - x cos x}{2 + x cos x} और | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ है। यहाँ $f(-x) = \frac{2 - (-x) \cos(-x)}{2 + (-x) \cos(-x)} = \frac{2 + x \cos x}{2 - x \cos x} = \f

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$\ln 1$

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(A) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ है। यहाँ $f(-x) = \frac{2 - (-x) \cos(-x)}{2 + (-x) \cos(-x)} = \frac{2 + x \cos x}{2 - x \cos x} = \frac{1}{f(x)}$ है। अतः,$g(f(-x)) = \ln(f(-x)) = \ln(1/f(x)) = -\ln(f(x)) = -g(f(x))$ है। इस प्रकार,$g(f(x))$ एक विषम फलन (odd function) है। किसी भी विषम फलन $h(x)$ के लिए,$\int_{-a}^{a} h(x) dx = 0$ होता है। इसलिए,$I = 0$ है। चूंकि $\ln 1 = 0$,इसलिए सही विकल्प $\ln 1$ है।

यदि $f(x) = \frac{2 - x \cos x}{2 + x \cos x}$ और $g(x) = \ln x$ $(x > 0)$ है,तो समाकलन $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} d x$ का मान क्या है?

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = $

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx = $

मान लीजिए कि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ सतत फलन हैं,तो समाकलन $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या होगा?

$\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx = a \ln 2 + b$,तो:

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