यदि sumlimits_{i = 1}^{20} {left( {frac{{{}^{ | vedclass

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Question

(D) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.हर में इसे लागू करने पर: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}}

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$100$

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(D) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.हर में इसे लागू करने पर: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.अतः,योग के अंदर का पद $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ है।सूत्र ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ का उपयोग करते हुए,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ प्राप्त होता है।इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.योग $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( \frac{i}{21} ight)}^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i = 1}^{20} i^3$ हो जाता है।घनों के योग का सूत्र $\sum\limits_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} ight)^2$ का उपयोग करते हुए,$n=20$ के लिए:$\sum\limits_{i=1}^{20} i^3 = \left( \frac{20 	imes 21}{2} ight)^2 = (10 	imes 21)^2 = 100 	imes 21^2$.मान रखने पर: $S = \frac{100 	imes 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.दिया गया है $S = \frac{k}{21}$,अतः $k = 100$ प्राप्त होता है।

यदि $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि ${C_0}, {C_1}, {C_2}, ......., {C_n}$ द्विपद गुणांक हैं,तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ....$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n \in N$ के लिए $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है,तो $C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} =$

यदि $P_{n}$,$(1+x)^{n}$ के विस्तार में द्विपद गुणांकों का गुणनफल दर्शाता है,तो $\frac{P_{n+1}}{P_n}=$

यदि $1^2 \cdot \binom{15}{1} + 2^2 \cdot \binom{15}{2} + 3^2 \cdot \binom{15}{3} + \ldots + 15^2 \cdot \binom{15}{15} = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$,जहाँ $m, n, k \in N$,तो $m + n + k$ का मान है :-

$3 \cdot C_0 + 7 \cdot C_1 + 11 \cdot C_2 + \ldots + (3 + 4n) C_n =$

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