यदि beta दीर्घवृत्त x^2 + 3y^2 = 9 के बिंदुओं | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 3y^2 = 9$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$।कि

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$\frac{2}{\sqrt{3}}$

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(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 3y^2 = 9$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$।किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{x}$ है।बिंदु $P_1 = (3\cos 	heta, \sqrt{3} \sin 	heta)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m_1 = \frac{3(\sqrt{3} \sin 	heta)}{3 \cos 	heta} = \sqrt{3} 	an 	heta$ है।बिंदु $P_2 = (-3\sin 	heta, \sqrt{3} \cos 	heta)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m_2 = \frac{3(\sqrt{3} \cos 	heta)}{-3 \sin 	heta} = -\sqrt{3} \cot 	heta$ है।अभिलंबों के बीच का कोण $\beta$ के लिए $	an \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} ight|$ है।मान रखने पर,$	an \beta = \left| \frac{\sqrt{3} 	an 	heta - (-\sqrt{3} \cot 	heta)}{1 + (\sqrt{3} 	an 	heta)(-\sqrt{3} \cot 	heta)} ight| = \left| \frac{\sqrt{3}(	an 	heta + \cot 	heta)}{1 - 3} ight| = \left| \frac{\sqrt{3}(	an 	heta + \cot 	heta)}{-2} ight| = \frac{\sqrt{3}}{2} (	an 	heta + \cot 	heta)$।चूंकि $	an 	heta + \cot 	heta = \frac{\sin 	heta}{\cos 	heta} + \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} = \frac{\sin^2 	heta + \cos^2 	heta}{\sin 	heta \cos 	heta} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2	heta} = \frac{2}{\sin 2	heta}$।अतः,$	an \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sin 2	heta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2	heta}$।इसलिए,$\frac{1}{\cot \beta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2	heta}$,जिसका अर्थ है $\frac{\cot \beta}{\sin 2	heta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।अतः,$\frac{2 \cot \beta}{\sin 2	heta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

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