यदि lambda in R इस प्रकार है कि समीकरण x^{2} | vedclass

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Question

(B) माना समीकरण $x^{2} + (2 - \lambda)x + (10 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = \lambda - 2$ और $\alp

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$2\sqrt{5}$

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(B) माना समीकरण $x^{2} + (2 - \lambda)x + (10 - \lambda) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = \lambda - 2$ और $\alpha\beta = 10 - \lambda$ है।मूलों के घनों का योग $S = \alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ है।मान रखने पर,$S = (\lambda - 2)^{3} - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2)$.$S = (\lambda - 2)[(\lambda - 2)^{2} - 3(10 - \lambda)] = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - \lambda - 26)$.$S = \lambda^{3} - 3\lambda^{2} - 24\lambda + 52$.न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^{2} - 6\lambda - 24 = 0$ रखें।$3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$ प्राप्त होता है।न्यूनतम के लिए,$\frac{d^{2}S}{d\lambda^{2}} = 6\lambda - 6$ है। $\lambda = 4$ पर,$18 > 0$,अतः यह न्यूनतम है।मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\lambda - 2)^{2} - 4(10 - \lambda)}$ है।$\lambda = 4$ के लिए,$|\alpha - \beta| = \sqrt{(4 - 2)^{2} - 4(10 - 4)} = \sqrt{4 - 24} = \sqrt{-20}$ है।अंतर का परिमाण $|\sqrt{-20}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।

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$p$ का वह मान जिसके लिए समीकरण $x^2 - (p + 3)x + (5p - 2) = 0$ के मूलों के वर्गों का योग न्यूनतम हो,है:

मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ के मूल हैं और $\gamma, \delta$ समीकरण $px^2 + 2qx + r = 0$ के मूल हैं। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ $G.P.$ में हैं,तो:

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