જો $\theta$ એ રેખા $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{4}$ અને સમતલ $2x + y - 3z + 4 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $64 \csc^2 \theta$ ની કિંમત શોધો.

રેખાઓ $\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ અને $\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-1}{1}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવતી રેખા,સમતલ $P: ax-y-z=0$,$(a>0)$ સાથે $\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{27}}\right)$ નો ખૂણો બનાવે છે. જો બિંદુ $(1,1,-5)$ નું સમતલ $P$ માં પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ હોય,તો $\alpha+\beta-\gamma$ ની કિંમત $........$ છે.

સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=1$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

સમતલ $2x - y + z = 4$ એ બિંદુઓ $A(a, -2, 4)$ અને $B(2, b, -3)$ ને જોડતા રેખાખંડને બિંદુ $C$ પર $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં છેદે છે. ઉગમબિંદુથી બિંદુ $C$ નું અંતર $\sqrt{5}$ છે. જો $ab < 0$ અને $P$ એ બિંદુ $(a - b, b, 2b - a)$ હોય,તો $CP^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સમતલ $P : 8x + \alpha_1 y + \alpha_2 z + 12 = 0$ એ રેખા $L : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{5}$ ને સમાંતર છે. જો $P$ નો $y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $1$ હોય,તો $P$ અને $L$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

રેખા $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 2}{6} = \frac{z - 3}{4}$ અને બિંદુ $(4, 3, 7)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.