यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ है,तो $|A^{2011} - 5A^{2010}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

क्रम $3$ के वास्तविक वर्ग आव्यूहों के समुच्चय पर निम्नलिखित संबंध $R$ पर विचार करें। $R = \{(A,B) | A = P^{-1}BP \text{ किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह } P \text{ के लिए }\}$.
\textbf{कथन-$1$:} $R$ एक तुल्यता संबंध है।
\textbf{कथन-$2$:} किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय $3 \times 3$ आव्यूहों $M$ और $N$ के लिए,$(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$।

मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक घनमूल है और $S$,$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ के रूप वाले सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ में से प्रत्येक $\omega$ या $\omega^2$ है,तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या है

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$,तो:

निम्नलिखित में से कौन सा/से सारणिक शून्य हो जाता है/जाते हैं?

मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ और $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,जहाँ $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,और $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि आव्यूह $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ का सारणिक $\alpha \omega^{2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।