જો $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^2}$ નો ઉકેલ શું છે?

જો $2xy^3dx + x^2y^2dy = ydx - xdy$ અને $y(2) = 1$ હોય,તો $y(-1)$ ની કિંમત શું થશે (જ્યાં $y(x)$ એ આપેલ $x$ માટે $y$ ની કિંમત દર્શાવે છે):

વક્રોનું એવું કુળ શોધો કે જેથી કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક અને વક્ર $xy = c^2$ ના છેદબિંદુ પરના સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=1+xe^{y-x}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ અને $y(0)=0$ છે. તો,$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માટે $y(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

કૉલમ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને કૉલમ $II$ માં આપેલા વિવૃત અંતરાલો સાથે જોડો.

કૉલમ $I$	કૉલમ $II$
$(A)$ વિકલ સમીકરણ $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ ના શૂન્યતર ઉકેલોના પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ અંતરાલ	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ સંકલન $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ ની કિંમત ધરાવતો અંતરાલ	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ અંતરાલ જેમાં $\cos^2 x+\sin x$ ના સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ આવેલું હોય	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ અંતરાલ જેમાં $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$