फलन f(x) = begin{cases} sgn([x]) & x notin I | vedclass

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Question

(B) आइए विभिन्न अंतरालों के लिए फलन $f(x)$ का विश्लेषण करें।$x 
otin I$ के लिए,$f(x) = sgn([x])$ है।यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $[x] = 0$,इसलिए $f(x) =

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प्रत्येक पूर्णांक पर असतत है

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(B) आइए विभिन्न अंतरालों के लिए फलन $f(x)$ का विश्लेषण करें।$x 
otin I$ के लिए,$f(x) = sgn([x])$ है।यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $[x] = 0$,इसलिए $f(x) = sgn(0) = 0$ है।यदि $x \in (1, 2)$ है,तो $[x] = 1$,इसलिए $f(x) = sgn(1) = 1$ है।यदि $x \in (-1, 0)$ है,तो $[x] = -1$,इसलिए $f(x) = sgn(-1) = -1$ है।$x \in I$ के लिए,$f(x) = [sgn(x)]$ है।यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = [sgn(0)] = [0] = 0$ है।यदि $x > 0$ और $x \in I$ है,तो $f(x) = [sgn(x)] = [1] = 1$ है।यदि $x इन सबको मिलाने पर,फलन प्रत्येक पूर्णांक $n \in I$ पर असतत है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा पूर्णांकों पर फलन के मान से मेल नहीं खाती हैं। विशेष रूप से,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim_{x 	o n^-} f(x) = sgn(n-1)$ और $\lim_{x 	o n^+} f(x) = sgn(n)$ है। ये $f(n) = [sgn(n)]$ के बराबर नहीं हैं। अतः,फलन प्रत्येक पूर्णांक पर असतत है।

फलन $f(x) = \begin{cases} sgn([x]) & x \notin I \\ [sgn(x)] & x \in I \end{cases}$ है (जहाँ $sgn()$ सिग्नम फलन को दर्शाता है और $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है):

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यदि एक फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x=0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x>0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है और $x=0$ पर सतत है,तो $a=$

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} (\cos x)^{1/x}, & x \ne 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)=\begin{cases} \frac{x-3}{|x-3|}+a & , x<3 \\ a+b & , x=3 \\ \frac{|x-3|}{x-3}+b & , x>3 \end{cases}$ बिंदु $x=3$ पर सतत है,तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।

जाँच कीजिए कि क्या $f(x) = x^{2}$ द्वारा दिया गया फलन $f$,$x = 0$ पर संतत है।

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