$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળામાંથી મહત્તમ શક્ય કદનો સમઘન કાપવામાં આવે છે. તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની એક સપાટીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સમઘનની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?

એક પાતળો સમાન સળિયો ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર પડેલો છે અને તે સપાટી પર ગમે તે રીતે ગતિ કરવા માટે મુક્ત છે. તેનું દળ $0.300 \, kg$ અને લંબાઈ $2 \, m$ છે. દરેક $0.100 \, kg$ દળ ધરાવતા બે કણો સમાન સપાટી પર સળિયાના બે છેડાઓ તરફ સળિયાને લંબ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે. એક કણ $10 \, m/s$ ના વેગથી એક છેડા તરફ અને બીજો કણ $5 \, m/s$ ના વેગથી બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે છે. જો કણો અને સળિયા વચ્ચેની અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોય અને બંને કણો એકસાથે સળિયા સાથે અથડાય,તો અથડામણ પછી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $m/s$ માં શોધો.

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાને બે અસમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે. $M/8$ દળ ધરાવતા નાના ભાગને $r$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં અને મોટા ભાગને $t$ જાડાઈ અને $2R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો $I_1$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા હોય અને $I_2$ એ તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા હોય,તો તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $I_2/I_1 = . . . . . . $.

હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટના બોહરના સિદ્ધાંતની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ છે કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે ત્યારે કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન થાય છે. આપણે આને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે સામાન્ય પરિભ્રમણ ગતિ સુધી વિસ્તૃત કરીશું,તેને દ્રઢ ધારીને. લાગુ પાડવાનો નિયમ બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત છે.
$1.$ એક દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-માં સ્તર $(n=1, 2, 3, \dots)$ માં તેની પરિભ્રમણ ઉર્જા છે:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ એવું જોવા મળ્યું છે કે $CO$ અણુ માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ સુધીની પરિભ્રમણની ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ ની નજીક છે. તો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $CO$ અણુની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી હશે? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ લો)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ અણુમાં,$C$ (દળ $= 12 \text{ a.m.u.}$) અને $O$ (દળ $= 16 \text{ a.m.u.}$) વચ્ચેનું અંતર,જ્યાં $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$,કેટલું હશે?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

સમાન ત્રિજ્યા અને દળ ધરાવતી બે રીંગને એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે તેમના કેન્દ્રો એક સામાન્ય બિંદુ પર હોય અને તેમના સમતલો એકબીજાને લંબ હોય. રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને એક રીંગના સમતલને લંબ એવી અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે? (રીંગનું દળ $= m$,ત્રિજ્યા $= r$)

$2L$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતો એક સમાન પાતળો સળિયો આડી ટેબલ પર પડેલો છે. સળિયાના એક છેડે આડો આઘાત (impulse) $J$ આપવામાં આવે છે. ઘર્ષણ નથી. આઘાત પછી તરત જ સળિયાની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી હશે?