પ્રથમ $20$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણમાંથી ચાર અલગ-અલગ સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે તેમાંથી કોઈ પણ બે સંખ્યાઓ ક્રમિક ન હોય -

$n$ બાજુવાળા બહિર્મુખ બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા ..... છે.

એક સમતલમાં $n$ સીધી રેખાઓ છે,જેમાંથી કોઈ પણ બે સમાંતર નથી અને કોઈ પણ ત્રણ એક જ બિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. તેમના છેદબિંદુઓને જોડવામાં આવે છે. તો આ રીતે મેળવેલી નવી રેખાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

કેટલાક સમાન દડાઓને હરોળમાં ગોઠવીને એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે. પ્રથમ હરોળમાં એક દડો,બીજી હરોળમાં બે દડા અને આ રીતે આગળ વધે છે. જો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવામાં વપરાયેલા કુલ દડાઓની સંખ્યામાં વધુ $99$ સમાન દડા ઉમેરવામાં આવે,તો આ તમામ દડાઓને એક ચોરસમાં ગોઠવી શકાય છે,જેની દરેક બાજુમાં ત્રિકોણની દરેક બાજુમાં રહેલા દડાઓની સંખ્યા કરતા બરાબર $2$ દડા ઓછા હોય છે. તો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવા માટે વપરાયેલા દડાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

નિયમિત ષટ્કોણના છ શિરોબિંદુઓમાંથી ત્રણ શિરોબિંદુઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. આ ત્રણ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે. બાજુ $AB$ પર ચાર બિંદુઓ $p_1, p_2, p_3, p_4$,બાજુ $BC$ પર પાંચ બિંદુઓ $p_5, p_6, p_7, p_8, p_9$ અને બાજુ $AC$ પર ચાર બિંદુઓ $p_{10}, p_{11}, p_{12}, p_{13}$ છે. આમાંથી કોઈ પણ બિંદુ ત્રિકોણ $ABC$ નું શિરોબિંદુ નથી. તો $p_1, p_2, \ldots, p_{13}$ બિંદુઓમાંથી શિરોબિંદુઓ લઈને બનાવી શકાય તેવા પંચકોણની કુલ સંખ્યા . . . . . . છે.