निम्नलिखित आव्यूह को एक सममित और एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए: $\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$
माना $A = \left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]$.
तब,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]$.
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
सबसे पहले,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ की गणना करें:
$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3+3 & 5+1 \\ 1+5 & -1-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right]$
$P = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$
चूँकि $P^{\prime} = P$,इसलिए $P$ सममित है।
इसके बाद,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ की गणना करें:
$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3-3 & 5-1 \\ 1-5 & -1-(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right]$
$Q = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$
चूँकि $Q^{\prime} = -Q$,इसलिए $Q$ विषम-सममित है।
अतः,$A = P + Q = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$.
तब,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right]$.
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
सबसे पहले,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ की गणना करें:
$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3+3 & 5+1 \\ 1+5 & -1-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right]$
$P = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]$
चूँकि $P^{\prime} = P$,इसलिए $P$ सममित है।
इसके बाद,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ की गणना करें:
$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}3-3 & 5-1 \\ 1-5 & -1-(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right]$
$Q = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$
चूँकि $Q^{\prime} = -Q$,इसलिए $Q$ विषम-सममित है।
अतः,$A = P + Q = \left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right]$.
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