Class 11PhysicsSystem of Particles and Rotational MotionEnergy conservation, Kinetic Energy, Work and Power of Rotational Motion
Difficultटॉर्क द्वारा किए गए कार्य को समझाइए।
(N/A) मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड एक निश्चित अक्ष के परितः घूम रहा है,जिसे $Z$-अक्ष के रूप में लिया गया है। यह अक्ष $X^{\prime} Y^{\prime}$ तल के लंबवत है।
मान लीजिए कि बल $\overrightarrow{F}_{1}$ पिंड के एक कण पर बिंदु $P_{1}$ पर कार्य करता है और यह अक्ष पर केंद्र $C$ के साथ $r_{1}$ त्रिज्या के वृत्त पर घूमता है,जहाँ $CP_{1} = r_{1}$ है।
$\Delta t$ समय में,बिंदु $P_{1}$ से $P_{1}^{\prime}$ तक जाता है। कण का विस्थापन $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ है और यह $P_{1}$ पर स्पर्शरेखा की दिशा में है।
यहाँ,$\Delta \theta = \angle P_{1} C P_{1}^{\prime}$ कण का कोणीय विस्थापन है। बल $\overrightarrow{F}_{1}$ द्वारा कण पर किया गया कार्य इस प्रकार है:
$dW_{1} = \overrightarrow{F}_{1} \cdot d\overrightarrow{S}_{1}$
$dW_{1} = F_{1} \Delta S_{1} \cos \phi_{1}$
चूंकि $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ और $\phi_{1} = 90^{\circ} - \alpha_{1}$,जहाँ $\alpha_{1}$ बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और त्रिज्या सदिश $\overrightarrow{r}_{1}$ के बीच का कोण है,इसलिए:
$dW_{1} = F_{1} (r_{1} \Delta \theta) \cos(90^{\circ} - \alpha_{1})$
$dW_{1} = F_{1} r_{1} \sin \alpha_{1} \Delta \theta$
चूंकि टॉर्क $\tau_{1} = r_{1} F_{1} \sin \alpha_{1}$ है,इसलिए किया गया कार्य:
$dW_{1} = \tau_{1} \Delta \theta$
पूरे पिंड के लिए,कुल कार्य सभी कणों पर किए गए कार्य का योग है:
$dW = \sum dW_{i} = \sum \tau_{i} \Delta \theta = \tau \Delta \theta$
जहाँ $\tau$ पिंड पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क है।
मान लीजिए कि बल $\overrightarrow{F}_{1}$ पिंड के एक कण पर बिंदु $P_{1}$ पर कार्य करता है और यह अक्ष पर केंद्र $C$ के साथ $r_{1}$ त्रिज्या के वृत्त पर घूमता है,जहाँ $CP_{1} = r_{1}$ है।
$\Delta t$ समय में,बिंदु $P_{1}$ से $P_{1}^{\prime}$ तक जाता है। कण का विस्थापन $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ है और यह $P_{1}$ पर स्पर्शरेखा की दिशा में है।
यहाँ,$\Delta \theta = \angle P_{1} C P_{1}^{\prime}$ कण का कोणीय विस्थापन है। बल $\overrightarrow{F}_{1}$ द्वारा कण पर किया गया कार्य इस प्रकार है:
$dW_{1} = \overrightarrow{F}_{1} \cdot d\overrightarrow{S}_{1}$
$dW_{1} = F_{1} \Delta S_{1} \cos \phi_{1}$
चूंकि $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ और $\phi_{1} = 90^{\circ} - \alpha_{1}$,जहाँ $\alpha_{1}$ बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और त्रिज्या सदिश $\overrightarrow{r}_{1}$ के बीच का कोण है,इसलिए:
$dW_{1} = F_{1} (r_{1} \Delta \theta) \cos(90^{\circ} - \alpha_{1})$
$dW_{1} = F_{1} r_{1} \sin \alpha_{1} \Delta \theta$
चूंकि टॉर्क $\tau_{1} = r_{1} F_{1} \sin \alpha_{1}$ है,इसलिए किया गया कार्य:
$dW_{1} = \tau_{1} \Delta \theta$
पूरे पिंड के लिए,कुल कार्य सभी कणों पर किए गए कार्य का योग है:
$dW = \sum dW_{i} = \sum \tau_{i} \Delta \theta = \tau \Delta \theta$
जहाँ $\tau$ पिंड पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क है।
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