$20$ ને બે ભાગમાં એવી રીતે વિભાજિત કરો કે જેથી એક ભાગ અને બીજા ભાગના ઘનનો ગુણાકાર મહત્તમ થાય. તે બે ભાગ કયા છે?

$x + y = 8$ ની શરત હેઠળ $xy$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે વિધેય $f(x)$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} \cos^{-1}(\mu) + x^2, & 0 < x < 1 \\ 4x, & x \geqslant 1 \end{cases}$. જો $\mu$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હોય તો વિધેય $f(x)$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે?

ધારો કે $x=-1$ અને $x=2$ એ વિધેય $f(x)=x^3+ax^2+b \ln|x|+1, x \neq 0$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ છે. ધારો કે $m$ અને $M$ એ અંતરાલ $\left[-2, -\frac{1}{2}\right]$ માં $f$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો છે. તો $|M+m|$ ની કિંમત શોધો ($\ln 2 \approx 0.7$ લો):

ધારો કે $P(x)$ એ $3$ ઘાતવાળી બહુપદી છે જેનું $x=1$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય (extreme value) છે. જો $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{P(x)+4}{x^2}+2\right)=6$ હોય,તો $\left(\frac{d P}{d x}\right)_{x=\frac{1}{2}}=$

$x e^{-x}$ ની મહત્તમ કિંમત શું છે?