असंपीड्य तरल के स्थिर प्रवाह के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) स्थिर प्रवाह में,यदि हम प्रत्येक कण के लिए धारा रेखाएं (streamlines) खींचते हैं,तो वे एक नली जैसी संरचना बनाती हैं जिसे प्रवाह की नली (tube of flow) कहा जाता है। कोई भी तरल कण इस नली की दीवारों से बाहर नहीं जाता है और न ही कोई अन्य कण इसमें प्रवेश करता है।
आकृति में $P$,$R$ और $Q$ बिंदुओं वाली प्रवाह की नली दिखाई गई है।
मान लीजिए कि बिंदु $P$,$Q$ और $R$ पर तरल कण का वेग क्रमशः $v_{P}$,$v_{Q}$ और $v_{R}$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_{P}$,$A_{Q}$ और $A_{R}$ है।
चूंकि प्रवाह स्थिर है,इसलिए दिए गए समय अंतराल $\Delta t$ में किसी भी अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाले तरल का द्रव्यमान समान रहता है।
समय $\Delta t$ में $v_{P}$ वेग के साथ $A_{P}$ अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाले तरल का द्रव्यमान $m_{P}$ है:
$m_{P} = A_{P} v_{P} \Delta t \rho$,जहां $\rho$ असंपीड्य तरल का घनत्व है।
इसी प्रकार,समान समय अंतराल $\Delta t$ में $Q$ और $R$ से गुजरने वाले तरल का द्रव्यमान है:
$m_{Q} = A_{Q} v_{Q} \Delta t \rho$ और $m_{R} = A_{R} v_{R} \Delta t \rho$.
चूंकि तरल असंपीड्य है और प्रवाह स्थिर है,इसलिए नली में प्रवेश करने वाला द्रव्यमान बाहर निकलने वाले द्रव्यमान के बराबर होना चाहिए। अतः:
$m_{P} = m_{R} = m_{Q}$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$A_{P} v_{P} \Delta t \rho = A_{R} v_{R} \Delta t \rho = A_{Q} v_{Q} \Delta t \rho$
सामान्य पदों $\Delta t$ और $\rho$ को हटाने पर:
$A_{P} v_{P} = A_{R} v_{R} = A_{Q} v_{Q}$
यह स्थिर प्रवाह के लिए सांतत्य समीकरण है,जो असंपीड्य तरल के लिए द्रव्यमान संरक्षण के नियम को दर्शाता है।
सामान्य तौर पर,$A v = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $v \propto \frac{1}{A}$।
गुणनफल $Av$ आयतन फ्लक्स या प्रवाह दर को दर्शाता है,जो पूरी प्रवाह नली में स्थिर रहता है। संकीर्ण भागों में धारा रेखाएं पास-पास होती हैं,जो उच्च वेग को दर्शाती हैं,जबकि चौड़े भागों में धारा रेखाएं दूर-दूर होती हैं,जो कम वेग को दर्शाती हैं।