વિકલ સમીકરણ y^2 dx + (x - frac{1}{y}) dy = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ મળે છે.$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ મળે છે.$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$ છે.ધારો કે $t = -\frac{1}{y}$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$. વળી,$\frac{1}{y} = -t$.આ કિંમતો મૂકતા,$\int (-t) e^t dt = - (t e^t - e^t) = e^t(1 - t) = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y})$ મળે છે.આમ,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) + C$.આપેલ છે કે $x=1$ ત્યારે $y=1$,તેથી $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.તેથી,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) - e^{-1}$.$y=2$ માટે,$x e^{-1/2} = e^{-1/2}(1 + 1/2) - e^{-1} = \frac{3}{2} e^{-1/2} - e^{-1}$.$e^{-1/2}$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{3}{2} - e^{-1/2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ ધ્યાનમાં લો. જો $x = 1$ હોય ત્યારે $y$ નું મૂલ્ય $1$ હોય,તો $y = 2$ હોય ત્યારે $x$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=2(y+2 \sin x-5)x-2 \cos x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=7$ છે. તો $y(\pi)$ ની કિંમત શોધો:

$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{3} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module